華閱文章網1.勾股定理的最簡單的證明方法是什么
簡單的勾股定理的證明方法如下：
拓展資料：
勾股定理的使用方法：
1、確保三角形是直角三角形。 勾股定理只適用于直角三角形中，所以，在應用定理之前，你需要先確定三角形是否是直角三角形，這一點非常重要。幸好，區分直接三角形和別的三角形的方法只有一個，那就是看一個三角形中是否有一個90度的角。
2、確定變量a,b,c對應的三角形的邊。在勾股定理中，a,b表示直角三角形的兩條直角邊，而c用來表示斜邊，即直角對應的那條最長的邊。所以，先給兩條直角邊分別標注上a,b（具體的對應關系沒有要求），而斜邊標注上c。
3、確定你所要求的邊。使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一條邊的長度，但前提是知道另外兩條邊的長度。先確定哪一條邊的長度是未知的——a,b或者c。
4、代入。將兩條已知邊的長度帶入到公式a2 + b2 = c2中，其中a和b對應的是兩直角邊的長度，而c代表斜邊長度。在上面的例子中，我們知道一條直角邊和斜邊的長度（3和5），然后將3和5代入到公式中，有32 + b2 = 2。
5、計算平方。首先，計算兩條已知邊長度的平方值。或者，你也可以先不計算出來，然后保留平方，帶到式子中直接計算平方和。在上述例子中，3和5的平方分別是9和25，所以方程可以改寫為9 + b2 = 25。
6、將未知變量移到等號一邊。如果有必要的話，運用基本的代數操作，將未知變量移動到等號一側，而將已知變量移動到等號的另一側。如果你要求的是斜邊長，那么就不需要再移動變量了。在上述例子中，方程式是9 + b2 = 25。兩邊同時減去9，等式變為b2= 16。
7、求開方。現在等式兩邊一邊是數字，另一邊是變量，然后同時求兩邊的平方根。在上述例子中b2 = 16，兩邊同時求平方根，有b = 4。因此，未知邊的長度就是4。
參考資料來源：搜狗百科-勾股定理
2.勾股定理最簡單的四種幾何證明辦法 圖文
勾股定理的證明方法一：切割定理證明
勾股定理的證明方法二：直角三角形內切圓證明
勾股定理的證明方法三：反證法證明
勾股定理的證明方法四：楊作玫證明
擴展資料：
公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。
以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理為商高定理。公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄于《九章算術》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。
后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。在中國清朝末年，數學家華蘅芳提出了二十多種對于勾股定理證法。
參考資料來源：百度百科-勾股定理
3.勾股定理的證明方法（至少10種）
【證法1】 以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE， ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ，∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于 . ∴ ∴ . 【證法2】（課本的證明） 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形. 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即 ， 整理得 . 【證法3】（1876年美國總統Garfield證明） 以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE， ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o，∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于 . 又∵ ∠DAE = 90o， ∠EBC = 90o， ∴ AD‖BC.∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于 ∴ .∴ . 【證法5】（利用相似三角形性質證明） 如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 . 同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 . ∴ ，即 【證法6】 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF， ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o，∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE， ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o，∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o，∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于 . ∴ . ∴ . 【證法7】（利用切割線定理證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a,AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90o，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得 = = = ， 即 ，∴ . 【證法8】（作直角三角形的內切圓證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a,AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r. ∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE， ∴ = = r + r = 2r，即 ， ∴ .∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， 又∵ = = = = ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ .。
4.證明勾股定理的5種證明方法,
魅力無比的定理證明 ——勾股定理的證明 勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。
也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。
實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。
在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。 首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源于中國和希臘。
1.中國方法 畫兩個邊長為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。
左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。
左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。
于是 a2+b2=c2。 這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。
既直觀又簡單，任何人都看得懂。 2.希臘方法 直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。
容易看出， △ABA' ≌△AA'' C。 過C向A''B''引垂線，交AB于C'，交A''B''于C''。
△ABA'與正方形ACDA'同底等高，前者面積為后者面積的一半，△AA''C與矩形AA''C''C'同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面積等于矩形AA''C''C'的面積。
同理可得正方形BB'EC的面積等于矩形B''BC'C''的面積。 于是， S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC， 即 a2+b2=c2。
至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。 以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。
這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。 我國歷代數學家關于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。
采用的是割補法： 如圖，將圖中的四個直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也”。
趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。 西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。
據說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。
遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。 下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。
如圖， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。
這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。 1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證明。
5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話。
在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥BC，垂足為D。則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我們發現，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD)， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。
這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。
在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法： 設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因為∠C=90°，所以cosC=0。
所以 a2+b2=c2。 這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。
原因是余弦定理的證明來自勾股定理。 人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜。
5.勾股定理的證明方法（10種以上）
【證法1】（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形. 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即 ， 整理得 . 【證法2】（鄒元治證明） 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF， ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90？， ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90？. ∴ ∠HEF = 180？―90?= 90？. ∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形. 它的面積等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE， ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90？， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90？. 又∵ ∠GHE = 90？， ∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180？. ∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于 . ∴ . ∴ .。
6.最簡單的勾股定理證明
中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話： 周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？” 商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。
其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”
從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
如圖所示，我們圖1 直角三角形用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：勾2+股2=弦2亦即：a2+b2=c2勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。
如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。
所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。 在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。
書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：c=(a2+b2)(1/2)中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。
最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。
在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。
于是便可得如下的式子：4*(ab/2)+(b-a)2=c2化簡后便可得：a2+b2=c2亦即：c=(a2+b2)(1/2)圖2 勾股圓方圖趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。
以后的數學家大多繼承了這一風格并且代有發展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。
事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發展著的。
十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓后的重現與繼續。”
勾股定理證明評鑒作者：梁子杰勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。」據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！又據記載，現時世上一共有超過 300 個對這定理的證明！我覺得，證明多，固然是表示這個定理十分重要，因而有很多人對它作出研究；但證明多，同時令人眼花繚亂，亦未能夠一針見血地反映出定理本身和證明中的數學意義。
故此，我在這篇文章中，為大家選出了 7 個我認為重要的證明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認識它們的歷史背境。證明一圖一在圖一中，D ABC 為一直角三角形，其中 D A 為直角。
我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。
不難證明，D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ′ D FBC 的面積 = 2 ′ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。
類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。
由此證實了勾股定理。這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。
不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手。
歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經在古希臘的文化中。
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