華閱文章網費馬大定理的“美妙證明”
作者：易衍文（80歲）
前 言
中科院數學研究機關有個不成文的規定：“凡是涉及費馬大定理和哥德巴赫猜想的文章，必須經過至少兩名大學數學教授的推薦”，否則，他們不予受理。
我的論文，高于“兩名大學數學教授的推薦”，初稿已經發表在2000年第4期《科學》雜志，題目是：《費馬大定理與丟番圖數學命題的婚禮》。
《科學》雜志是具有國際學術權威性的刊物，一般人看不到或者不去看。
現在，為了讓一般群眾都能了解什么是費馬大定理，點燃群眾性的“數學熱情”；現重新改寫，使它更加通俗易懂，更加貼近群眾；使它從高深的和神圣的“數學殿堂”中走出來，讓廣大群眾一睹它的真面目。
這就是大數學家陳省身大師所提倡的“通俗數學”。
陳省身大師已逝。
他的兩個愿望我們應當牢記：一、希望數學走進千家萬戶；二、希望中國成為21世紀的“數學大國”。
（一）
什么是費馬大定理的“美妙證明”？我們得從頭說起。
皮埃爾??費馬（Fermat）是十七世紀法國一位業余數學家，他本人職業是律師。
1637年他在閱讀《丟番圖著作》（Diuphantus）第八命題時，他在書的空白處寫下一段話，他寫道：
“將一個立方數分為兩個立方數，將一個四次冪或一般高于二次冪的數，分為兩個同次冪的數，這是不可能的。”（重點號是筆者所加），他又說：“關于此，我確信已經發現了一種美妙的證明，可惜這里空白太小，寫不下。”
費馬死后三百多年，人們承認他頭腦中的那個“美妙證明”，故稱之為定理，而不是猜想，更不是一般的稱之為數學命題。
可是，經過三百多年的時間，卻沒有一個人能夠“破譯”出費馬的“美妙證明”，因而費馬大定理成為了世界頂級數學難題。
費馬大定理用數學的語言表達出來，應當是：An+Bn≠Cn(當n≥3時)，或者說：An+Bn=Cn(當n≥3時)沒有整數解。
1994年英國數學教授威爾斯（Wiles）宣稱他證明了費馬大定理。
1996年出席了在德國召開的“世界數學大會”，領到了德國頒發的數學獎金（為費馬大定理設立的專項獎金），他的論文長達140頁(有說200頁)。
事后，美國著名數學教授Kenneth A Ribet撰文《費馬的最后抵抗》（《科學》雜志1998年2月號）提出了質疑，他指出：所有數學家一致認為，威爾斯（Wiles）的證明太復雜，太現代化了，不可能是費馬當年在頁邊空白處寫下的那一段話時腦中所想到的證明。
二者必居其一：要么是費馬自己弄錯了；要么就真的還有一個簡單而巧妙的證明等待數學家們去發現。
這段話講得對極了。
（二）
費馬大定理的巧妙證明，被我發現了。
可是花去了我二十多年的時間，走了不少的彎路。
后來拜讀了重慶師范學院方鎮華教授所著《簡明數學史》，發現費馬大定理，不是放在月宮里的明珠，也不是放在第118層樓的寶石。
方鎮華老師告訴我：費馬當年，世界還處在“初等數學時期”。
費馬其人，是一普通的業余數學愛好者，本人職業是律師。
想必他還沒學過什么變量數學、近代數學和現代數學。
古希臘時代的丟番圖數學、畢達哥拉斯定理和中國孔夫子時代的數學水平相比，似乎還有差距。
勾股弦定理早于畢達哥拉斯定理。
古希臘的歷史，比中國奴隸社會（夏禹時期）要晚一千多年。
據美國一位數學家講：費馬當年，對中國古數學很感興趣，也許可稱之為中國古數學的“門生”。
美國的數學家講：研究中國古數學，也許就是打開“未來數學”寶庫 “芝麻開門” 的魔咒。
美國數學家希望中國人：要珍惜自己的歷史，要珍惜自己的寶藏，不要手捧“外國月亮”。
中國有足夠的條件，可以成為世界“數學大國”。
這些也許是廢話，不說不好，說了羅嗦，只好拉倒，書歸正傳：
我的論文《費馬大定理與丟番圖數學命題的婚禮》，是把兩個數學命題捆綁在一起來研究的。
丟番圖第八命題說：將一個平方數分為兩個平方數，（如：52=32+42），用數學語言表達，記為：a2+b2=c2。
費馬大定理說：“將一個立方數分為兩個立方數，將一個四次冪或一般高于二次冪的數，分為兩個同次冪的數，這是不可能的。”
用數學語言表達為：an+bn≠cn，(當n≥3時)；或者說：an+bn=cn，(當n≥3時)；沒有整數解。
為什么自然數的平方c2，可分為a2+b2？而3次冪以上的自然數不可能分為兩個同次冪的數呢？
費馬發現：a2+b2=c2,也就是畢達哥拉斯定理(中國叫勾股弦定理)，它所表示的是直角三角形三個邊長的關系。
畢氏定理，有整數解，如：a=3 b=4 c=5;古希臘人將這種數稱之為“畢氏三組數”。
費馬想到：按通常情況a2+b2是不等于c2的，應當是a2+b2≠c2.
∵ 若a+b=c, 則(a+b)2=c2,
展開后 a2+2ab+b2=c2,
右端多出 2ab,
∴a2+b2≠c2
可是，為什么在畢氏定理中a2+b2=c2能夠成立呢？他終于發現了一個”秘密”。
在畢氏定理中，引進了一個補數r,畢氏三數組，應該是畢氏四數組。
于是 a+b=c+r,
(a+b)2=(c+r)2,
展開后 a2+2ab+b2=c2+2cr+r2；
∵ 在直角三角形中，2ab=2cr+r2，
兩端減等量后得：a2+b2=c2 （簡化式）
如：a=3 b=4 c=5 r=2
(3+4)2=(5+2)2
展開后 32+2??3??4+42=52+2??5??2+22，
左端 2??3??4=24
右端 2??5??2+22=24；
∴ 可簡化為 32+42=52。
費馬大定理的無整數解，或者說不可能分成兩個3次冪以上的自然數，這是因為：
an+bn=cn ，(當n≥3時)， 在數學中根本不能成立，它脫離了直角三角形那種數與形的特殊關系，即便也引進一個補數r,仍然不能成立。
如：
(a+b)3=(c+r)3，展開：
a3+3a2b+3ab2+b3=a3+3c2r+3cr2+r3
左端的3a2b+3ab2≠右端的3c2r+3cr2+r3
∴ 不能將其簡化為：a3+b3=c3,
即a3+b3≠c3,
在引進補數r后，n的冪次越高，則:
an+bn越是不等于cn，
∴an+bn≠cn,(當n≥3時),
或者說：an+bn=cn,(當n≥3時),沒有整數解。
費馬大定理就是這樣簡單地被我證明了, 我先是證明“畢達哥拉斯定理”，而最后推證費馬大定理，步驟不是很多吧。
結論：費馬的“美妙證明”，大概就是因為他發現了a2+b2=c2是一個特殊的簡化式，這個簡化式，是經過引進一個補數r后，在直角三角形的三個邊長關系中，才能簡化成a2+b2=c2，若脫離了直角三角形“數和形”的關系，則a2+b2=c2是不能成立的。
當然，an+bn=cn,(當n≥3時)，就更不能成立，即沒有整數解。
（三）
在講完費馬大定理的證明后，我們再回到丟番圖第八命題：“將一個平方數C2分為兩個平方數a2+b2”，
數學表達式：a2+b2=c2是能夠成立的，并且有無限多的整數解，其解法：
（A）公式：當a為奇數時，b=（a2-1）/2，c=（a2+1）/2，r=a-1;
計算數據為：
a 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……
b 4 12 24 40 60 84 112 144 180 ……
c 5 13 25 41 61 85 113 145 181 ……
r 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ……
(A)表中所有的數,都符合: a2+b2=c2.
(B)公式：當a為偶數時，b=a2/4-1,c=a2/4+1;r=a-2.
計算數據為：
a 4 6 8 10 12 14 16 18 ……
b 3 8 15 24 35 48 63 80 ……
c 5 10 17 26 37 50 65 82 ……
r 2 4 6 8 10 12 14 16 ……
(B)表中所有的數，都符合: a2+b2=c2.
我的論文,一共證明了三個問題：
(1) 畢達哥拉斯定理a2+b2=c2為什么能夠成立；
(2) 費馬大定理：an+bn=cn,(當n≥3時)，不能成立，即沒有整數解;
(3) 丟番圖第八命題（又稱丟番圖方程），有無限多的整數解；（見前面運算公式及A、B二表）。
說明：這里（A）、（B）兩個公式及其所計算的數據，只供證明丟番圖第八命題（丟番圖方程）的有解性，作為三個邊長都是整數的直角三角形，還有其他解法，別人已經發現。
此外，根據相似三角形可按等比例放大的原理，（A）、（B）兩表中的數都可以“等比放大”。
于是推導出公式：
(ak)2+(bk)2=(ck)2 (k=1.2.3…………….n)
（相似三角形等比放大原理）
例如：a=5 b=12 c=13 k=113
則有：（5×113）2+（12×113）2=（13×113）2
5652+13562=14692
另外：當n=4 an+bn=cn 可能有少數整數解
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