華閱文章網1.無理數的發現和發展
“無理數”的由來 公元前500年，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的弟（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可子希勃索斯公度的（若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數）這一不可公度性與畢氏學派“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭.這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位.希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處.畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同等看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”.而這種“孔隙”經后人證明簡直多得“不可勝數”.于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了.不可公度量的發現連同著名的芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次危機，對以后2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發展，并且孕育了微積分的思想萌芽.不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數.15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數.然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”.人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名為“無理數”——這便是“無理數”的由來.。
2.有理數的發展史
數的發展 對于數發展史的縮寫幾乎是褻瀆神圣的！自然數、整數、有理數、無理數、虛數、實數、復數，等等，是在何時、何地又是怎樣演化的？ 像大多的數學概念那樣，它們的演進或由于偶然，或由于需要，或由于稀奇，或由于探索的需求，而游刃于某個思維領域. 很難想象，當試圖解各種問題時該不該把它們限制在一個數的特殊集合里.我們承認許多問題是局限在某個特定的范圍或區域，這就使得它伴隨著特定的集合.但至少我們還應該知道解答中其他類型數的存在，而這樣的問題正好成為一種練習. 雖然現在我們手上已經有了全部的復數，但我們不妨想象處理這樣一個問題，即求方程x+7=5中的x值，但不知道負數.這時會有什么反應呢？ ——這個問題有缺陷！ ——沒有解答！ ——該方程是不正確的！（①原注：阿拉伯的教科書把負數介紹到歐洲.但16和17兩個世紀里，歐洲的數學家不愿意接受這些數.N·楚虧特（15世紀）和M·斯提德爾（16世紀）將負數歸為荒唐的數.雖然J·卡當把負數作為一種方程的解，但他認為它們是作為一種不可能的回答.甚至B·帕斯卡也說：“我知道人們無法理解，如果我們從零里拿去四，那么零還會留下什么？” ）等等.但幸運的是，終有一些勇敢而自信的數學家，他們愿意冒險，并堅信解存在于一個未被發現的數的領域，而最終他們邁出了一步，在原來之外規定了一個新的數的集合.可想而知，對于解上述問題，創造出一個負數是何等地令人興奮和不平常.同樣令人感興趣的是對新數的驗證，看它是否也遵循已存在的數的集合的公理. 我們幾乎不可能把時間都放在不同數的起源上，但我們能夠設想類似的問題及新數發現的梗概. 在許多世紀中，世界上不同地區的人都只用到自然數.大概那時他們沒有其他的需要.當然，他們各自對自然數書寫的符號和體系，隨著文化的不同而不同. 第一個零出現的時間可以追溯到第二個一千年，那時零出現在巴比倫的粘土板上.它最初是空位，后來用兩個符號或表示零.但這里零更多地是作為一個位置的持有者，而不是作為一個數. 瑪雅人和印度人的數的系統最早將零既作為數零，又作為位置的持有者. 有理數則是進化的第二階段.人們需要分配一個整體的量，就像分一塊面包那樣.雖然沒有設計表示這些數的符號，但古代人知道分數量的存在.例如，埃及人用“嘴巴”來寫 希臘人則用線段的長度表示不同的數量.他們知道在數軸上的點并不只是由自然數和有理數占據.這時我們發現了無理數的介入.而留下來的問題是： 長為1的直角三角形時得到的結果. ——π是無理數嗎？ 矩形時得到的. 無須多說，我們知道那時人們已經用到了無理數. 歷史揭示，在新數發現的過程中解決舊問題和創造新問題是同時發生的.一個新數集合的發現是一碼事，但它所采用的定義和邏輯系統則必須是可接受的，而且應與多年演化中所采用的一些規則相共容.（② 原注：那時，對于整數、有理數、無理數和負數的邏輯基礎還沒有建立印度和阿拉伯人在他們計算中自由地運用這些數.他們用正數和負數作為資產和債務的值.他們的工作主要埋頭于計算，而不太關心它們幾何上的有效性.這是由于他們的算術不依賴于幾何的緣故. ）負數曾難于為歐洲的數學家所接受，這種狀態甚至延續到17世紀.平方根的運用若不限于非負數的集合，那么式方程，它要求在其解中運用虛數.一個這樣的方程就是x2=-1.設計一個普遍性的集合，把所有的數都聯系在一起，這樣就引進了復數，它出現在像一元二次方程x2+2x+2=0這類方程的解中.復數（形如a上面提到的數，都可以看成復數的一種類別.例如，實數是虛部為0的復數，而純虛數則是實部為0但虛部不為0的復數. 用幾何進行描述時，虛數和復數變得更為具體.像古希臘人在數軸上描述實數一樣，復數可以用復平面來描述.每個復平面上的點都對應著一個且只有一個復數，反之亦然.這樣，方程x5=1的五個解就能用圖解表示出來. 由于復數可由二維的點描述，這似乎就有一個邏輯上的過渡問題，即問一問什么樣的數可以描述高維空間上的點.我們發現了一種叫四元數的數，可以用來描述四維空間.現在留下的問題是——數到此為止了嗎？我們說，隨著新的數學思想的發展和應用，還會經常產生新數的。
3.有理數的由來與發展
阿拉伯數字的由來 古代印度人創造了阿拉伯數字后.大約到了公元7世紀的時候.這些數字傳到了阿拉伯地區.到13世紀時.意大利數學家斐波那契寫出了<算盤書>.在這本書里.他對阿拉伯數字做了詳細的介紹.后來.這些數字又從阿拉伯地區傳到了歐洲.歐洲人只知道這些數字是從阿拉伯地區傳入的.所以便把這些數字叫做阿拉伯數字.以后.這些數字又從歐洲傳到世界各國. 阿拉伯數字傳入我國.大約是13到14世紀.由于我國古代有一種數字叫[籌碼".寫起來比較方便.所以阿拉伯數字當時在我國沒有得到及時的推廣運用.本世紀初.隨著我國對外國數學成就的吸收和引進.阿拉伯數字在我國才開始慢慢使用.阿拉伯數字在我國推廣使用才有100多年的歷史.阿拉伯數字現在已成為人們學習.生活和交往中最常用的數字了. 由于生活和勞動上的需求.即使是最原始的民族.也知道簡單的計數.并由用手指或實物計數發展到用數字計數.在中國.至遲在商代.即已出現用十進制數字表示大數的方法，又至遲至秦漢之際.即已出現完滿的十進位值制.在成書不遲于1世紀的<九章算術>中.已載有只有位值制才有可能的開平方.立方的計算法則.并載有分數的各種運算以及解線性聯立方程組的方法.還引入了負數概念.劉徽在他注解的<九章算術>（3世紀）中.還提出過用十進小數表示無理數平方根的奇零部分.但直至唐宋時期（歐洲則在16世紀S.斯蒂文以后）十進小數才獲通用.雖然中國從來沒有過無理數或實數的一般概念.但在實質上.那時中國已完成了實數系統的一切運算法則與方法.這不僅在應用上不可缺.也為數學初期教育所不可少.數的概念最初不論在哪個地區都是1.2.3.4--這樣的自然數開始的.但是記數的符號卻大不相同. 古羅馬的數字相當進步.現在許多老式掛鐘上還常常使用.實際上.羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）.V（代表5）.X（代表10）.L（代表50）.C代表100).D（代表500）.M（代表1.000）.這7個符號位置上不論怎樣變化.它所代表的數字都是不變的.它們按照下列規律組合起來.就能表示任何數： 1.重復次數：一個羅馬數字符號重復幾次.就表示這個數的幾倍.如：[III"表示[3",[XXX"表示[30". 2.右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號.就表示大數字加小數字.如[VI"表示[6".[DC"表示[600".一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號.就表示大數字減去小數字的數目.如[IV"表示[4".[XL"表示[40".[VD"表示[495". 3.上加橫線：在羅馬數字上加一橫線.表示這個數字的一千倍. 其他國家和地區的人民.則是普遍認同十位進制的記數符號.即1.2.3.4.5.6.7.8.9.遇到[零"就用黑點[·"表示.比如[6708".就可以表示為[67·8".后來這個表示[零"的[·".逐漸變成了[0". 如果你細心觀察的話.會發現羅馬數字中沒有[0".其實在公元5世紀時.[0"已經傳入羅馬.但羅馬教皇兇殘而且守舊.他不允許任何使用[0".有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用[0"的一些好處和說明.就被教皇召去.施行了拶刑.使他再也不能握筆寫字. 現在世界通用的數符號1.2.3.4.5.6.7.8.9.0.人們稱之為阿拉伯數字.實際上它們是古代印度人最早使用的.后來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去.又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲.逐漸演變成今天的阿拉伯數字. ================================== 附： 后來人們發現.僅僅能表示自然數是遠遠不行的.如果分配獵獲物時.5個人分4件東西.每個人人該得多少呢？于是分數就產生了.自然數.分數和零.通稱為算術數.自然數也稱為正整數. 接著人們又發現很多數量具有相反的意義.比如增加和減少.前進和后退.為了表示這樣的量.又產生了負數.正整數.負整數和零.統稱為整數.如果再加上正分數和負分數.就統稱為有理數.公元前2500年.畢達哥拉斯的學生在研究1與2的比例中項時.發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它.這個新數的出現使畢達哥拉斯感到震驚.緊接著人們又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數.如圓周率就是最重要的一個.人們就把這些數稱作無理數.有理數和無理數一起統稱為實數.但在解方程的時候常常需要開平方.如果被開方數負數.這道題還有解嗎？如果沒有解.那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁.于是數學家們就規定用符號[i"表示[-1"的平方根.即.虛數就這樣誕生了. 數的概念發展到虛數以后.在很長一段時間內.連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了.數學家族的成員已經都到齊了.可是1843年10月16日.英國數學家哈密爾頓又提出了[四元數"的概念.所謂四元數.就是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x.y.z為實數）組成的數.四元數在數論.群論.量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用.與此同時.人們還開展了對[多元數"理論的研究. 到目前為止.數的家庭已發展得十分龐大. 。
“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數并不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。
有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。
但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（。
4.圖解有理數的發展史
有理數的發展史：
古埃及人約于公元前17世紀已使用分數，中國《九童算術》中也載有分數的各種運算。分數的使用是由于除法運算的需要。除法運算可以看作求解方程px=q(p≠0)，如果p,q是整數，則方程不一定有整數解。為了使它恒有解，就必須把整數系擴大成為有理系。
關于有理數系的嚴格理論，可用如下方法建立。在Z*(Z -{0})即整數有序對（但第二元不等于零）的集上定義的如下等價關系：設 p1,p2 Z,q1,q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。則稱（p1,q2）~(p2,q1)。Z*(Z -{0})關于這個等價關系的等價類，稱為有理數。（p,q）所在的有理數，記為 。一切有理數所成之集記為Q。令整數p對應一于 ，即（p,1）所在的等價類，就把整數集嵌入到有理數的集中。因此，有理數系可說是由整數系擴大后的數系。
5.無理數的發現和發展
“無理數”的由來 公元前500年，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的弟（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可子希勃索斯公度的（若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數）這一不可公度性與畢氏學派“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭。
這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。
畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同等看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經后人證明簡直多得“不可勝數”。
于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同著名的芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次危機，對以后2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發展，并且孕育了微積分的思想萌芽。
不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。
然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名為“無理數”——這便是“無理數”的由來。
6.無理數的歷史
畢達哥拉斯大約生于公元前580年至公元前500年，從小就很聰明，一次他背著柴禾從街上走過，一位長者見他捆柴的方法與別人不同，便說：“這孩子有數學奇才，將來會成為一個大學者。”
他聞聽此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯門下去求學。畢達哥拉斯本來就極聰明，經泰勒一指點，許多數學難題在他的手下便迎刃而解。
其中，他證明了三角形的內角和等于180度；能算出你若要用瓷磚鋪地，則只有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿，還證明了世界上只有五種正多面體，即：正4、6、8、12、20面體。他還發現了奇數、偶數、三角數、四角數、完全數、友數，直到畢達哥拉斯數。
然而他最偉大的成就是發現了后來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積。據說，這是當時畢達哥拉斯在寺廟里見工匠們用方磚鋪地，經常要計算面積，于是便發明了此法。
畢達哥拉斯將數學知識運用得純熟之后，覺得不能只滿足于用來算題解題，于是他試著從數學領域擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出“凡物皆數”的觀點，數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。
畢達哥拉斯還在自己的周圍建立了一個青年兄弟會。在他死后大約500年間，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。
一天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著游船出來領略山水風光，以驅散一天的疲勞。這天，風和日麗，海風輕輕的吹，蕩起層層波浪，大家心里很高興。
一個滿臉胡子的學者看著遼闊的海面興奮地說：“畢達哥拉斯先生的理論一點都不錯。你們看這海浪一層一層，波峰浪谷，就好像奇數、偶數相間一樣。
世界就是數字的秩序。”“是的，是的。”
這時一個正在搖槳的大個子插進來說：“就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。
一切事物之間都是可以用數字互相表示的。”“我看不一定。”
這時船尾的一個學者突然提問了，他沉靜地說：“要是量到最后，不是整數呢？”“那就是小數。”“要是小數既除不盡，又不能循環呢？”“不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數字直接準確地表達出來。”
這時，那個學者以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說：“并不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示，就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。”這個提問的學者叫希帕索斯，他在畢達哥拉斯學派中是一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數學家。
今天要不是因為爭論，還不想發表自己這個新見解呢。那個搖槳的大個子一聽這話就停下手來大叫著：“不可能，先生的理論置之四海皆準。”
希帕索斯眨了眨聰明的大眼，伸出兩手，用兩個虎口比成一個等腰直角三角形說：“如果直邊是3，斜邊是幾？”“4。”“再準確些？”“4.2。”
“再準確些？”“4.24。”“再準確些呢？”大個子的臉漲得緋紅，一時答不上來。
希帕索斯說：“你就再往后數上10位、20位也不能算是最精確的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一邊與余邊，都不能用一個精確的數字表示出來。”
這話像一聲晴天霹靂，全船立即響起一陣怒吼：“你敢違背畢達哥拉斯先生的理論，敢破壞我們學派的信條！敢不相信數字就是世界！”希帕索斯這時十分冷靜，他說：“我這是個新的發現，就是畢達哥拉斯先生在世也會獎賞我的。你們可以隨時去驗證。”
可是人們不聽他的解釋，憤怒地喊著：“叛逆！先生的不肖門徒。”“打死他！批死他！”大胡子沖上來，當胸給了他一拳。
希帕索斯抗議著：“你們無視科學，你們竟這樣無理！”“捍衛學派的信條永遠有理。”這時大個子也沖了過來，猛地將他抱起：“我們給你一個最高的獎賞吧！”說著就把希帕索斯扔進了海里。
藍色的海水很快淹沒了他的軀體，再也沒有出來。這時，天空飄過幾朵白云，海面掠過幾只水鳥，一場風波過后，這地中海海濱又顯得那樣寧靜了。
一位很有才華的數學家就這樣被奴隸專制制度的學閥們毀滅了。但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價值。
這次事件后，畢達哥拉斯學派的成員們確實發現不但等腰直角三角形的直角邊無法去量準斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數字是3.14159265358979……更是永遠也無法精確。慢慢地，他們感覺后悔了，后悔殺死希帕索斯的無理行動。
他們漸漸明白了，明白了直覺并不是絕對可靠的，有的東西必須靠科學的證明；他們明白了，過去他們所認識的數字“0”，自然數等有理數之外，還有一些無限的不能循環的小數，這確實是一種新發現的數——應該叫它“無理數”。這個名字反映了數學的本來面貌，但也真實的記錄了畢達哥拉斯學派中學閥的蠻橫無理。
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。1872年，德國數學家載德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格。
7.有理數的由來和發展
阿拉伯數字的由來 古代印度人創造了阿拉伯數字后，大約到了公元7世紀的時候，這些數字傳到了阿拉伯地區。
到13世紀時，意大利數學家斐波那契寫出了《算盤書》，在這本書里，他對阿拉伯數字做了詳細的介紹。后來，這些數字又從阿拉伯地區傳到了歐洲，歐洲人只知道這些數字是從阿拉伯地區傳入的，所以便把這些數字叫做阿拉伯數字。
以后，這些數字又從歐洲傳到世界各國。 阿拉伯數字傳入我國，大約是13到14世紀。
由于我國古代有一種數字叫“籌碼”，寫起來比較方便，所以阿拉伯數字當時在我國沒有得到及時的推廣運用。本世紀初，隨著我國對外國數學成就的吸收和引進，阿拉伯數字在我國才開始慢慢使用，阿拉伯數字在我國推廣使用才有100多年的歷史。
阿拉伯數字現在已成為人們學習、生活和交往中最常用的數字了。 由于生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，并由用手指或實物計數發展到用數字計數。
在中國，至遲在商代，即已出現用十進制數字表示大數的方法；又至遲至秦漢之際，即已出現完滿的十進位值制。在成書不遲于1世紀的《九章算術》中，已載有只有位值制才有可能的開平方、立方的計算法則，并載有分數的各種運算以及解線性聯立方程組的方法，還引入了負數概念。
劉徽在他注解的《九章算術》（3世紀）中，還提出過用十進小數表示無理數平方根的奇零部分，但直至唐宋時期（歐洲則在16世紀S.斯蒂文以后）十進小數才獲通用。雖然中國從來沒有過無理數或實數的一般概念，但在實質上，那時中國已完成了實數系統的一切運算法則與方法，這不僅在應用上不可缺，也為數學初期教育所不可少。
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大不相同。 古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鐘上還常常使用。
實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。
它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數： 1.重復次數：一個羅馬數字符號重復幾次，就表示這個數的幾倍。如：“III”表示“3”;“XXX”表示“30”。
2.右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如“VI”表示“6”,“DC”表示“600”。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如“IV”表示“4”,“XL”表示“40”,“VD”表示“495”。
3.上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。 其他國家和地區的人民，則是普遍認同十位進制的記數符號，即1、2、3、4、5、6、7、8、9，遇到“零”就用黑點“·”表示，比如“6708”，就可以表示為“67·8”。
后來這個表示“零”的“·”，逐漸變成了“0”。 如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有“0”。
其實在公元5世紀時，“0”已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。
他不允許任何使用“0”。有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用“0”的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握筆寫字。
現在世界通用的數符號1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。
后來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。 ================================== 附： 后來人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。
如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？于是分數就產生了。自然數、分數和零，通稱為算術數。
自然數也稱為正整數。 接著人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和后退，為了表示這樣的量，又產生了負數。
正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。
公元前2500年，畢達哥拉斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它，這個新數的出現使畢達哥拉斯感到震驚，緊接著人們又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率就是最重要的一個，人們就把這些數稱作無理數。有理數和無理數一起統稱為實數。
但在解方程的時候常常需要開平方，如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數學家們就規定用符號“i”表示“-1”的平方根，即，虛數就這樣誕生了。
數的概念發展到虛數以后，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了“四元數”的概念。
所謂四元數，就是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x、y、z為實數）組成的數。四元數在數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。
與此同時，人們還開展了對“多元數”理論的研究。 到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。
8.有理數的由來與其的發展（要詳細的）
有理數（rational number）:
有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比，通常寫作 a/b。
包括整數和通常所說的分數，此分數亦可表示為有限小數或無限循環小數。
這一定義在數的十進制和其他進位制（如二進制）下都適用。
如3,-98.11,5.72727272……，7/22都是有理數。
有理數還可以劃分為正有理數、負有理數和0。
全體有理數構成一個集合，即有理數集，用粗體字母Q表示，較現代的一些數學書則用空心字母Q表示。
有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。
有理數集是一個域，即在其中可進行四則運算（0作除數除外），而且對于這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數）：
①加法的交換律 a+b=b+a;
②加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c;
③存在數0，使 0+a=a+0=a;
④對任意有理數a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0;
⑤乘法的交換律 ab=ba;
⑥乘法的結合律 a(bc)=(ab)c;
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;
⑧存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數a,1a=a1=a;
⑨對于不為0的有理數a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
此外，有理數是一個序域，即在其上存在一個次序關系≤。
有理數還是一個阿基米德域，即對有理數a和b,a≥0,b>0，必可找到一個自然數n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數。
值得一提的是有理數的名稱。“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數并不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。
有理數加減混合運算
1.理數加減統一成加法的意義：
對于加減混合運算中的減法，我們可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法，這樣就可將混合運算統一為加法運算，統一后的式子是幾個正數或負數的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數和。
2.有理數加減混合運算的方法和步驟：
(1)運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。
(2)運用加法法則，加法交換律，加法結合律簡便運算。
9.有理數的歷史
值得一提的是有理數的名稱。
“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數并不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。
有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。
但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。
與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。
古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鐘上還常常使用。 實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。
這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數： 1.重復次數：一個羅馬數字符號重復幾次，就表示這個數的幾倍。
如："III"表示"3";"XXX"表示"30"。 2.右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6","DC"表示"600"。
一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495"。 3.上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。
如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。 我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，后人沒有沿用。
到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。
按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。
算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。 從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。
9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。
這樣的計算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。
但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。
數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以后來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。
不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功于公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，后來逐漸變成了"0"。
說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。
如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。
隨著阿拉數字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。
如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。
但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。
有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。 但"0"的出現，誰也阻擋不住。
現在，"0"已經成為含義最豐富的數字符號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。
如：氣溫0℃，并不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等于1;0!=1（零的階乘等于1）。 除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進制法。
在長期實際生活的應用中，十進制最終占了上風。 現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。
實際上它們是古代印度人最早使用的。后來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。
數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。 隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。
如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？于是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。
自然數也稱為正整數。 隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和后退、上升和下降、向東和向西。
為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。
如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。
但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。
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